一連の何らかの測定 値が正規分布になっていて、標準偏差が 、期待値が の場合、1つの測定値の誤差が − と の間になる確率は である。 これは、例えば、デジタル 通信 システムでの符号誤り率の特定などに使える。

演算精度を上げるために、式を erfc によって書き直すことができます。 正規分布の累積分布関数はExcelでは正規分布と同じ関数のNORM.DISTで、出力形式をTrueで描くことができる; 累積分布関数と確率密度関数の関係について説明しました。 統計では、累積分布関数から派生した検定なども考案されています。 標準正規分布の累積分布関数 確率変数 \( Z \) の値が \( b \) 未満となる確率 \( P(zerf関数はJuliaでは既に用意されている。Pythonの場合はscipy.special.erfとか。 f(x) = 1/2 * ( 1 + erf( (x - μ) / (σ * √2) ) ) 誤差関数を人任せにしたお陰でだいぶ簡潔なコードで済んだ。近似式使って自前でやった方が良かったのかな。 正規累積分布関数 (cdf) は次のようになります。 p は、パラメーター μ および σ をもつ正規分布から派生した単一の観測値が区間 (-∞,x] に含まれる確率です。 標準正規累積分布関数 Φ (x) は、誤差関数 erf に関連しています。 なお、誤差関数の正と負の無限大での値はそれぞれ正と負の となる。 応用. 標準偏差 σ 、平均値 μ をもつ正規 (ガウス) 分布の累積分布関数 (cdf) は次のようになります。 ϕ ( x ) = 1 2 ( 1 + e r f ( x - μ σ 2 ) ) . 平均μ, 標準偏差σの正規分布の累積分布関数は $$\frac{1}{2} \left( 1 + \mathrm{erf} ~ \frac{x - \mu}{\sqrt{2} \sigma} \right)$$ で与えられる。 例 誤差関数は，主に正規分布の累積分布関数 (CDF)を記述する際に用いられる特殊関数 (special function)の一種である．一般にCDFは，確率密度関数 (PDF)の定積分によって与えられるが，正規分布のPDFに対してはこの積分を解析的に実行することができない．言い換えると，正規分布のCDFは何らかの初等関数によって表すことができない． 図 12.2.1 正規分布の確率密度関数 と表され， ϕ を使えば一般的な正規分布の確率密度関数を以下のように表せます。 (12.2.4) 標準正規分布の4乗平均 は， （部分積分をする→） （第1項はゼロ，さらに部分積分→） （第1項はゼロ，さらに部分積分→）